OpenGL之矩阵转换

向量

定义：在 3D 笛卡尔坐标系, 基本上. ⼀一个顶点就是XYZ 坐标空间上的⼀一个位置. ⽽而在空间中给定的一个位置恰恰是由⼀一个单独的 XYZ 定义的. ⽽而这这样的 XYZ 就是向量量。
向量的长度：(x^2 + y^2 + z^2)和的平方根
单位向量：向量长度为1的向量为单位向量
向量标准化：如果一个向量的长度不为1，那么将这个向量的长度缩放到1的过程叫做向量标准化

OpenGL中的向量

OpenGL中使用math3d库定义向量，其中有两个数据类型：M3DVector3f 、M3DVector4f，分别定义三维向量(x,y,z)以及四维向量(x,y,z,w)，其中w表示缩放因子，x、y、z除以w来进行缩放，通常情况下w为1.0

代码参考

//三维向量量/四维向量量的声明
typedef float M3DVector3f[3];

typedef float M3DVector4f[4];

//声明⼀一个三维向量量 M3DVector3f:类型 vVector:变量量名

M3DVector3f vVector;

//声明⼀一个四维向量量并初始化⼀一个四维向量量

M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};

向量的点乘

向量的点乘发生在两个三维单位向量之间，得到的结果是这两个向量的夹角的余弦值，即cosA，因此结果是一个标量，不在是向量，故而向量点乘必须先转成单位向量

前提条件：2个向量必须是单位向量
动作：2个三维向量之间是点乘
结果：返回一个[-1,1]之间的一个值，是这两个向量夹角的余弦值（cos值）
单位化向量：使⽤一个⾮非零向量除以它的模(向量的⻓度), 就可以得到方向相同的单位向量，即(x/|xyz|, y/|xyz|, z/|xyz|)

math3d库中提供了计算向量点乘的API：

m3dDotProduct3 函数获得2个向量量之间的点乘结果
m3dGetAngleBetweenVector3 即可获取2个向量量之间夹⻆角的弧度值

需要注意的是向量点乘不符合交换律，所以向量的前后顺序不能改变

向量的叉乘

2个向量量之间叉乘就可以得到另外⼀一个向量量,新的向量量会与原来2个向量量定义的平⾯面垂直

相乘的向量是两个普通向量
动作：向量叉乘
结果：得到一个新的向量与原来两个向量所在的平面垂直

math3d 库中提供了了关于叉乘的API

m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果得到一个新的向量，例如

void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const
    M3DVector3f v)
复制代码

其中第一个参数保存相乘的结果向量，第二三个参数是相乘的向量，不满足交换律

矩阵

矩阵只有一行或者一列都是合理的，只有一行或者一列可以称为向量，也可以叫矩阵。

OpenGL中矩阵的定义API，

//三维矩阵/四维矩阵的声明
typedef float M3DMatrix33f[9];

typedef float M3DMatrix44f[16];

在其他编程语言中一般把矩阵定义为二维数组，但是在OpenGL中习惯定义为一维数组，因为OpenGL使用的是列矩阵。

行矩阵

列矩阵

注意：矩阵的最后⼀行都为0，只有最后⼀个元素为1

单元矩阵

单元矩阵初始化三种方式

直接定义数组方式

GLFloat m[] = {
            1,0,0,0,
            0,1,0,0,
            0,0,1,0,
            0,0,0,1
}复制代码

使用M3DMatrix44f 定义

M3DMatrix44f = {
            1,0,0,0,
            0,1,0,0,    
            0,0,1,0,
            0,0,0,1
}复制代码

使用API定义

//m用来接收矩阵					m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);复制代码

一个向量乘以单位矩阵还是等于一个向量，没有任何改变。

顶点向量变换

计算公式

在线性代数中，为了书写方便，坐标计算都是从左往右按着顺序进行计算，如下公式

例子如下

2. 在OpenGL中，计算公式如下

例子如下

变换

对于变换的理解

视图变换：指定观察者的位置
模型变换：在场景中移动物体
模型窗口：描述视图/模型变换的二元性（2种看到模型转换的方式，一个是观察者不动，物体移动；一个是观察者移动，物体不动）
投影：改变观景体大小以及设置它的投影
视口：伪变化，对窗口上最终输出进行缩放

注意：所有的变换之前必须先应用视图变换，因为所有的变换都是基于新调整的坐标系来进行的。

视图变换

观察者对于屏幕位置的移动

模型变换

平移

m3dTranslationMatrix44复制代码

缩放
```
m3dScaleMatrix44复制代码
```
旋转
```
m3dRotationMatrix44复制代码
```

综合

		
						void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product, const M3DMatrix44f a, const M3DMatrix44f b)

					复制代码

投影变换

透视投影
正投影

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